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高校生のマルチジャンルなプロジェクト

【数学・本質】点とは何?線とは何?面とは何?

こんにちは!mysです!

今回は線と面の正体を考えていきましょう!

 

中学校1年生の数学の知識があれば理解できる話なので、がんばっていきましょう!

 

 

目次

1.予備知識

本題に入る前に3つの予備知識が必要です。

知っていたら飛ばしてもらって構いません。

 

1つ目は座標についてです。

 

「位置」のことを座標と言います。

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例えば点Aは右に4、上に3いったところにあります。

それぞれ矢印の方向を+とするのが一般的です。

このグラフは2本の軸によって構成されています。

それぞれ横がx軸、縦がy軸となります。

もし、文字がxyではなくstだったら、

s軸t軸と言います。

 

点Aの座標を(4,3)と書きます。

また、点Aであることを強調したいときは、A(4,3)と書くこともあります。

 

今回で言うところの4をx座標と言い

3をy座標と言います。

基本的に横軸(今回はx)の座標を先に書きます。

 

こんなルールがあります。

ちょっと長くなりましたが

あまり難しいことは書いていないので、

読めると思います。

 

2つ目は「無限」についてです。

 

と言っても厳密に無限を定義するわけではありません。

 

皆さんに知ってもらいたいのは

「無限」を考えるとわけのわからないことが起こる。

ということです。

 

例を出しましょう。

 

無限を考えた結果、この世に存在する2の倍数の数とこの世に存在する4の倍数の数は等しいということがわかりました。

(写像をやるとわかります)

 

無限を考えた結果、0.9999…=1 ということがわかりました。

(極限をやるとわかります)

 

無限を考えた結果、1+2+3+…=−1/12 ということがわかりました。

(解析接続を使うとわかります)

 

こんなことが起こってしまうんです。

一番下のはちょっと的外れかもしれません。

 

なぜそうなるのかは解説していると

年が明けてしまうので、

大学で習うのを楽しみにしていてくださいね!

 

3つ目は公理、定義、定理についてです。

 

これについてはTORMの別のページで解説しているので、

もしよくわからないというものがありましたら

 

【数学・本質】『公理・定義・定理』違いわかる?3つについてわかりやすく解説! - TORM

 

こちらの記事を読んでみてください。

 

これで予備知識は終わりです。

 

まずは点について考えていきましょう。

 

2.点とは何?

 

点とは何か。つまり点の定義ですが 

ユークリッドの『原論』ではこう書かれています。

 

「点とは位置だけをもち、部分をもたないもの

である。」

 

まあこれだけでわかったらかなりの数学上級者ですね。

 

簡単にかみくだいて言います。

 

まず、位置を指定するだけのためのものです。

つまり、座標を指定するだけです。

なので、点に面積は無いですし長さも無いです。

 

しかし、点を書くときには面積なしだと

私たちが見えないので、仕方なく面積があるように書いているわけですね。

 

つまり私たちが書いている点は点では無いんですね。

 

さらに、点にはいろいろな定義がありますが大体はこの考え方で大丈夫です。

 

3.線とは何?

 

さて、 線とは何でしょうか?

実は線にもいろいろな定義があります。

全部やってるとキリがないので一番実用性のある3つを紹介します。

 

 

1つ目の定義:点を動かした時の軌跡(軌道と考えてもらっていいです)

 

2つ目の定義:幅、厚さのない長さ

 

3つ目の定義:無数の点が集まったもので、長さがあり、幅と厚さのないもの

 

 

まあ言ってることはわからんくもないですね。

 

まず、大切なことは幅、厚さがないってことです。

つまり面積がないわけですね。

まあ点に長さ、面積が無いわけですからこれは納得できますね。

 

次に大切なことは無数の点が集まったものということですが、

なぜ長さの無い点が無数に集まると、

長さのある線になるのかってことが疑問ですよね。

 

これは説明するのが大変面倒なので簡単に言うと

無限個の点が集まったのでヤバイことが起こったわけです。

 

そういうことで勘弁してください。

 

4.面とは何?

さて、なんか法則がつかめてきたらあなたは数学の感覚が身についているわけです

まあ当然いくつか定義はあります

では参りましょう。

 

 

面の定義1:線を動かした時の軌跡

 

面の定義2:厚さの無い幅

 

面の定義3:無数の線が集まったもので厚さの無いもの

 

面の定義4:無数の点が集まったもので幅があり厚さの無いもの

 

 

どうでしょうかまあ納得ですね大体わかると思います。

 

大切なことはやはり、体積がないことですね

 

3つ目と4つ目は似ているわけですが

というのが無数の点でできているわけですから、

無数の線を集めたものがであるならば、

当然無数の点を集めたものと言えますね。

 

つまり大切なことは

無数の線の集まりでもあり、

無数の点の集まりでもあるということですね。

 

こんな感じで、全部定義がわかりましたね。

 

これがわかっていると関数や図形の問題を解きやすくなりますので是非覚えておいてくださいね!

 

では、

こ精読ありがとうございました( ᴗ͈ˬᴗ͈)◞❤︎*˚

 

5.補足

はい。補足です。

 

今回はなぜこんな記事を書いたのかというと、このあと次元についての記事を書こうと思っているからです。

 

皆さんはお気づきでしょうか?

点は0次元、線は1次元、面は2次元

次元が上がっていってるんです。

 

次元については以後詳しく解説していこうかなと思っているのでよろしければ見てくださると嬉しいです。

 

また、この記事とは違う定義のしかたで

点が集まると線になることを矛盾無く

できたりするんです。

 

それについても他の記事で書いていこうと思います

 

では今回はこの辺で、

ありがとうございました( ᴗ͈ˬᴗ͈)◞❤︎*˚

 

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